Objętość prostopadłościanu: ile się w nim mieści
Wypełnij bryłę kostkami warstwa po warstwie, wyprowadź z tego wzór V = a · b · c, znajdź brakujący wymiar dzieleniem i policz, ile litrów wody mieści akwarium.
Pole mówiło, ile kratek zajmuje figura na płasko. Objętość mówi, ile kostek zmieści się w środku bryły. W tej lekcji wypełnisz pudełka kostkami warstwa po warstwie, wyprowadzisz z tego wzór V = a · b · c, a na koniec sprawdzisz, ile litrów wody mieści akwarium.
- Objętość = ile się mieści w środku
- Warstwa to pole podstawy, warstw jest tyle, co wysokości
- Z objętości i dwóch wymiarów trzeci wyjdzie dzieleniem
- 1000 cm³ to 1 litr — stąd woda w akwarium
Które pudełko mieści więcej?
Zanim pojawi się wzór
Trzy razy to samo pytanie: które pudełko mieści więcej? Wymiary masz na rysunku, wzoru jeszcze nie — więc licz kostkami. Ostatnie porównanie kończy się zaskoczeniem.
Które pudełko mieści więcej?
Porównanie 1 z 3
Pudełko A
Pudełko B
- Pudełko A 4 × 2 × 2 mieści 16 kostek, pudełko B 2 × 2 × 3 mieści 12 kostek. Nie wygrywa ten, kto jest wyższy. Liczy się, ile kostek wejdzie razem — a to zależy od wszystkich trzech wymiarów naraz.
- Pudełko A 5 × 2 × 1 mieści 10 kostek, pudełko B 2 × 2 × 3 mieści 12 kostek. Najdłuższe pudełko wcale nie mieści najwięcej. Płaskie pudełko ma tylko jedną warstwę kostek, choćby było bardzo długie.
- Pudełko A 3 × 3 × 2 mieści 18 kostek, pudełko B 2 × 3 × 3 mieści 18 kostek. Dwie zupełnie różne bryły mogą mieścić dokładnie tyle samo. Objętość nie mówi nic o kształcie — mówi tylko, ile się mieści.
Wypełnij bryłę warstwa po warstwie
Układaj kostki warstwami i patrz na tabelę obok. Za każdym razem dochodzi ta sama liczba kostek — dokładnie tyle, ile mieści dno. Powtarzane dodawanie tej samej liczby to mnożenie, więc wzór napisze się sam.
Pudełko ma dno 4 na 3 kostki. Układaj kostki warstwami i patrz, jak rośnie ich liczba.
Pudełko 1 z 2
| Warstwa | Dochodzi | Razem kostek |
|---|---|---|
| Pudełko jest puste. Dołóż pierwszą warstwę. | ||
Na dnie mieści się 4 · 3 = 12 kostek — i tyle samo wchodzi w każdą kolejną warstwę.
- Pudełko 4 × 3 × 3: na dnie 12 kostek, warstw 3, razem 36 kostek.
- Pudełko 5 × 2 × 4: na dnie 10 kostek, warstw 4, razem 40 kostek.
Objętość, brakujący wymiar i litry
Trzy razy ta sama droga, raz pod górę.
Najpierw objętość wprost z wymiarów, potem szukanie wymiaru, gdy objętość jest znana, a na koniec woda w akwarium przeliczona na litry.
Przykład 1 z 3
Krok 1 z 3
Karton ma 6 cm długości, 4 cm szerokości i 3 cm wysokości. Jaka jest jego objętość?
- Karton ma 6 cm długości, 4 cm szerokości i 3 cm wysokości. Jaka jest jego objętość? Zaczynamy od dna. Mieści ono 6 · 4 = 24 kostek o boku 1 cm, czyli pole podstawy to 24 cm². Wysokość to 3 cm, więc takich warstw ułożymy 3. 24 · 3 = 72. Jednostka jest sześcienna, bo mnożyliśmy trzy długości. Odpowiedź: 72 cm³. Zawsze tą samą drogą: najpierw jedna warstwa (pole podstawy), potem tyle warstw, ile wynosi wysokość.
- Paczka ma objętość 60 cm³, a jej dno to 5 cm na 4 cm. Jaka jest jej wysokość? Znów zaczynamy od dna: 5 · 4 = 20. Tyle kostek mieści jedna warstwa. Cała paczka mieści 60 kostek. Pytamy więc: ile razy 20 mieści się w 60? 60 : 20 = 3. Tyle jest warstw, czyli tyle centymetrów wysokości. Odpowiedź: 3 cm. Gdy szukany jest wymiar, a nie objętość, mnożenie zamienia się w dzielenie: c = V : (a · b).
- Akwarium ma dno 30 cm na 20 cm i 25 cm wysokości. Nalano wody do wysokości 20 cm. Ile to litrów? Woda też jest prostopadłościanem — ma to samo dno co akwarium, tylko niższą wysokość. Dno: 30 · 20 = 600 cm². Wysokość liczymy do lustra wody, nie do brzegu: 600 · 20 = 12 000 cm³. Zostaje zamiana na litry. 1000 cm³ to 1 litr, więc 12 000 : 1000 = 12. Odpowiedź: 12 litrów wody. Woda w naczyniu ma podstawę naczynia i wysokość równą poziomowi wody. Wysokość ścianek nic tu nie zmienia.
Policz samodzielnie
Osiem zadań o rosnącej trudności: od tego, czym w ogóle jest objętość, przez liczenie z wymiarów i szukanie brakującego wymiaru, po pułapkę z różnymi jednostkami i zamianę na litry.
K · Konieczne
Co mówi objętość bryły?
Ile wody jest w akwarium?
Woda nie sięga brzegu — i to zmienia wszystko.
Przeciągnij lustro wody i patrz, jak zmienia się objętość. Dno się nie zmienia, więc wystarczy pilnować jednej liczby — wysokości, na której stoi woda.
Poziom wymagań P
Zadanie 1 z 3
Ustaw lustro wody na 10 cm. Ile litrów wody jest wtedy w akwarium?
Tabliczka
poziom 0 cm
600 · 0 = 0 cm³
- Akwarium ma dno 30 × 20 cm, czyli pole podstawy 600 cm², i 25 cm wysokości, więc pełne mieści 15 000 cm³, czyli 15 litrów.
- Ustaw lustro wody na 10 cm. Ile litrów wody jest wtedy w akwarium? Poziom 10 cm to 6000 cm³. Woda ma to samo dno co akwarium, więc wystarczy pomnożyć pole podstawy przez poziom — a potem zamienić na litry.
- Do pustego akwarium wlano 9 litrów wody. Ustaw lustro na właściwej wysokości. Poziom 15 cm to 9000 cm³. To samo działanie od drugiej strony: znasz objętość i pole podstawy, więc wysokość znajdujesz dzieleniem.
- Woda stoi na 5 cm. Ile litrów jeszcze się zmieści, żeby akwarium było pełne po brzegi? Poziom 5 cm to 3000 cm³. Pytanie „ile jeszcze” to zawsze odejmowanie dwóch objętości — pełnej i tej, która już jest.
Sprawdź, co zapamiętałeś
Dlaczego we wzorze na objętość mnożymy przez siebie aż trzy liczby?
Ściąga: objętość prostopadłościanu
Osiem zdań, które wystarczą na cały ten temat.
- 1Objętość mówi, ile się w bryle mieści — liczy się ją w kostkach jednostkowych, np. w cm³.
- 2Dno prostopadłościanu mieści tyle kostek, ile wynosi pole podstawy: długość razy szerokość.
- 3Warstw jest tyle, ile wynosi wysokość, a każda mieści tyle samo kostek co dno.
- 4Stąd wzór: V = a · b · c, czyli długość razy szerokość razy wysokość. To zapis liczenia warstwami, nie osobna reguła.
- 5Wszystkie trzy wymiary muszą być w tej samej jednostce — inaczej wynik nie znaczy nic.
- 6Znając objętość i dwa wymiary, trzeci znajdziesz dzieleniem: c = V : (a · b).
- 7W naczyniu pole podstawy się nie zmienia, więc dwa razy wyższy poziom wody to dwa razy więcej wody.
- 81000 cm³ to 1 litr, więc objętość w cm³ zamieniasz na litry, dzieląc przez 1000.
Nagroda: ciekawostka
Ukończ wszystkie kroki tej lekcji, żeby ją odblokować.
Zrobione: 0 z 6 kroków
Przejdź wszystkie kroki i wykonaj ćwiczenia — pasek u góry pokaże 100%.