Pole powierzchni prostopadłościanu: ile trzeba na obłożenie
Odróżnij pole powierzchni od objętości, policz je jako pole siatki — trzy prostokąty wzięte po dwa razy — i sprawdź, ile farby, papieru albo płytek potrzeba na prawdziwą robotę.
Objętość mówiła, ile się w bryle mieści. Pole powierzchni mówi, ile trzeba, żeby ją obłożyć z zewnątrz — farbą, papierem, płytkami. To jest po prostu pole siatki, którą rozkładałeś dwie lekcje temu: sześć prostokątów w trzech parach identycznych.
- Pole powierzchni = ile trzeba na obłożenie z zewnątrz
- To dokładnie pole siatki bryły
- Trzy różne prostokąty, każdy dwa razy
- P = 2 · (a · b + a · c + b · c), w cm²
Wnętrze czy zewnętrze?
Ta sama skrzynia, dwa zupełnie różne pytania. Zanim policzysz cokolwiek, naucz się je rozróżniać: czy coś wchodzi do środka, czy kładzie się na ścianach? Sześć pytań ze świata do rozstrzygnięcia.
Objętość
ile się MIEŚCI w środku
Pole powierzchni
ile trzeba, żeby OBŁOŻYĆ z zewnątrz
Ile piasku zmieści się w skrzyni?
Ile farby trzeba, żeby pomalować skrzynię z zewnątrz?
Ile papieru pójdzie na owinięcie prezentu?
Ile litrów wody wleje się do akwarium?
Iloma płytkami trzeba wyłożyć ściany basenu?
Ile klocków o boku 1 cm zapełni pudełko?
Rozstrzygnięte 0 z 6
- Ile piasku zmieści się w skrzyni? To pytanie o objętość. Piasek wchodzi do środka — pytamy, ile się mieści, więc to objętość.
- Ile farby trzeba, żeby pomalować skrzynię z zewnątrz? To pytanie o pole powierzchni. Farba kładzie się na ścianach. Liczy się to, co widać z zewnątrz — pole powierzchni.
- Ile papieru pójdzie na owinięcie prezentu? To pytanie o pole powierzchni. Papier okrywa ściany pudełka, czyli jego siatkę. To pole powierzchni.
- Ile litrów wody wleje się do akwarium? To pytanie o objętość. Woda wypełnia wnętrze — pytanie o litry to zawsze pytanie o objętość.
- Iloma płytkami trzeba wyłożyć ściany basenu? To pytanie o pole powierzchni. Płytki przyklejają się do ścian, jedna obok drugiej — liczymy pole, nie zawartość.
- Ile klocków o boku 1 cm zapełni pudełko? To pytanie o objętość. Klocki wchodzą do środka warstwami. Liczba kostek jednostkowych to objętość.
Pomaluj wszystkie sześć ścian
Sześć ścian, trzy pary
Obróć pudełko i pomaluj wszystkie ściany — klikać da się tylko te, które w danej chwili widzisz, więc trzy z nich znajdziesz dopiero po drugiej stronie. Każda pomalowana ściana dokłada swoje pole do sumy.
Pudełko ma 5 cm długości, 3 cm szerokości i 4 cm wysokości. Obróć je i pomaluj wszystkie ściany — klikaj tylko te, które widzisz.
Chwyć bryłę i obróć ją
0 cm²
pomalowane 0 z 6 ścian
- Jeszcze nic nie pomalowane. Kliknij dowolną widoczną ścianę.
- dno i wieko: 5 · 3 = 15 cm², dwa razy = 30 cm².
- przód i tył: 5 · 4 = 20 cm², dwa razy = 40 cm².
- lewa i prawa: 3 · 4 = 12 cm², dwa razy = 24 cm².
- Razem pole powierzchni pudełka 5 × 3 × 4 cm wynosi 94 cm².
Rachunek na trzy wiersze
Rachunek, który wypełniasz sam.
Trzy wiersze, po jednym na parę ścian. Do każdego dobierz właściwe dwa wymiary bryły — suma dopisze się na dole sama. Ostatnia bryła ma pułapkę: dwa kafelki z tymi samymi liczbami.
Karton na książki. Trzy wiersze rachunku, trzy pary ścian — dopasuj każdej jej wymiary.
Bryła 1 z 3
| Para ścian | Wymiary | Razem |
|---|---|---|
| dno i wieko | ← wybierz niżej | — |
| przód i tył | — | — |
| lewa i prawa | — | — |
| Pole powierzchni | 0 cm² | |
Które dwa wymiary tworzą ścianę dno i wieko?
- Bryła 8 × 5 × 3 cm: dno i wieko to długość razy szerokość, czyli 8 · 5 = 40, dwa razy 80; przód i tył to długość razy wysokość, czyli 8 · 3 = 24, dwa razy 48; lewa i prawa to szerokość razy wysokość, czyli 5 · 3 = 15, dwa razy 30. Pole powierzchni 158 cm². Każda para ścian bierze dwa z trzech wymiarów bryły. Trzeci wymiar jest wtedy „na wylot" — to grubość, której na tej ścianie nie widać.
- Bryła 10 × 4 × 6 cm: dno i wieko to długość razy szerokość, czyli 10 · 4 = 40, dwa razy 80; przód i tył to długość razy wysokość, czyli 10 · 6 = 60, dwa razy 120; lewa i prawa to szerokość razy wysokość, czyli 4 · 6 = 24, dwa razy 48. Pole powierzchni 248 cm². Kolejność wierszy nigdy się nie zmienia: dno z wiekiem, przód z tyłem, boki. Zmieniają się tylko liczby.
- Bryła 6 × 6 × 3 cm: dno i wieko to długość razy szerokość, czyli 6 · 6 = 36, dwa razy 72; przód i tył to długość razy wysokość, czyli 6 · 3 = 18, dwa razy 36; lewa i prawa to szerokość razy wysokość, czyli 6 · 3 = 18, dwa razy 36. Pole powierzchni 144 cm². Gdy dwa wymiary są równe, dwie pary ścian wychodzą identyczne. Liczby się powtarzają, ale wiersze rachunku wciąż są trzy.
Policz samodzielnie
Osiem zadań o rosnącej trudności: od definicji, przez sześcian i zwykłe pudełko, po dwie bryły o tej samej objętości i różnym polu powierzchni oraz skrzynię, której nie trzeba malować od spodu.
K · Konieczne
Czym jest pole powierzchni prostopadłościanu?
Ile farby, papieru i płytek?
Nie każdą ścianę trzeba pokryć.
Trzy prawdziwe roboty: malowanie skrzyni, owijanie prezentu i wykładanie basenu płytkami. Za każdym razem policz pole do pokrycia, a potem ile opakowań materiału trzeba kupić.
Drewniana skrzynia stoi na ziemi i malujesz ją z zewnątrz. Dna nikt nie zobaczy i pędzel tam nie sięgnie.
Robota 1 z 3
puszka farby na 5 m²
- ściana dolna6 m²
- ściana górna6 m²
- ściana przednia3 m²
- ściana tylna3 m²
- ściana lewa2 m²
- ściana prawa2 m²
- Drewniana skrzynia stoi na ziemi i malujesz ją z zewnątrz. Dna nikt nie zobaczy i pędzel tam nie sięgnie. Bryła 3 × 2 × 1 m, pełne pole powierzchni 22 m². Pomijamy: ściana dolna. Do pokrycia 16 m², czyli 4 puszki. Gdy jakiejś ściany nie pokrywasz, odejmij jej pole od pola powierzchni. Reszta rachunku nie zmienia się wcale.
- Prezent w pudełku owijasz papierem — w całości, ze wszystkich stron. Zapas na zakładki pomijamy. Bryła 30 × 20 × 10 cm, pełne pole powierzchni 2200 cm². Pokrywamy wszystkie ściany. Do pokrycia 2200 cm², czyli 3 arkusze. Owinięcie w całości to pełne pole powierzchni — dokładnie pole siatki pudełka, bez żadnych odejmowań.
- Basen ogrodowy wykładasz płytkami od środka: cztery ścianki i dno. Góra jest otwarta — tam jest woda i niebo. Bryła 5 × 3 × 2 m, pełne pole powierzchni 62 m². Pomijamy: ściana górna. Do pokrycia 47 m², czyli 24 kartony. Tym razem odpadła góra, a nie dół — ale rachunek jest ten sam. Zawsze zaczynaj od pełnego pola powierzchni, a dopiero potem odejmuj to, czego nie pokrywasz.
Sprawdź, co zapamiętałeś
Które z tych pytań jest pytaniem o pole powierzchni?
Ściąga: pole powierzchni prostopadłościanu
Osiem zdań, które wystarczą na cały ten temat.
- 1Pole powierzchni to pole całej siatki — suma pól sześciu ścian bryły.
- 2Objętość mówi, ile się w środku MIEŚCI; pole powierzchni — ile trzeba, żeby bryłę OBŁOŻYĆ z zewnątrz.
- 3Ściany chodzą parami, więc liczy się trzy prostokąty i każdy bierze się dwa razy.
- 4Dno i wieko to długość × szerokość, przód i tył — długość × wysokość, boki — szerokość × wysokość.
- 5Stąd wzór: P = 2 · (a · b + a · c + b · c).
- 6Pole powierzchni podaje się w jednostkach kwadratowych (cm², m²), a objętość w sześciennych (cm³, m³).
- 7Dwie bryły o tej samej objętości mogą mieć różne pola powierzchni — im bardziej płaska bryła, tym więcej materiału na obłożenie.
- 8Gdy czegoś nie trzeba obłożyć (skrzynia stoi na ziemi, pudełko nie ma wieka), odejmij pole tej ściany.
Nagroda: ciekawostka
Ukończ wszystkie kroki tej lekcji, żeby ją odblokować.
Zrobione: 0 z 6 kroków
Przejdź wszystkie kroki i wykonaj ćwiczenia — pasek u góry pokaże 100%.